Аксиоми на реалните числа. Аксиоматика на реалните числа. Аксиоматична дефиниция на системата от цели числа

За реални числа, обозначени с (т.нар. R chopped), се въвежда операцията на събиране (“+”), т.е. за всяка двойка елементи ( х,г) от множеството реални числа се присвоява елементът х + гот същото множество, наречено сума хИ г .

Аксиоми на умножението

Въвежда се операцията за умножение („·“), т.е. за всяка двойка елементи ( х,г) от набора от реални числа се присвоява елемент (или накратко, хг) от същия набор, наречен продукт хИ г .

Връзка между събиране и умножение

Аксиоми на реда

По дадено отношение от ред "" (по-малко или равно на), т.е. за всяка двойка x, yот поне едно от условията или .

Връзка между ред и добавяне

Връзка между ред и умножение

Аксиома за непрекъснатост

Коментар

Тази аксиома означава, че ако хИ Y- две непразни множества от реални числа, така че всеки елемент от хне надвишава нито един елемент от Y, тогава между тези набори може да се вмъкне реално число. За рационални числа тази аксиома не е валидна; класически пример: разгледайте положителните рационални числа и ги присвоете на множеството хтези числа, чийто квадрат е по-малък от 2, а останалите - до Y. След това между хИ YНе можете да вмъкнете рационално число (не е рационално число).

Тази ключова аксиома осигурява плътност и по този начин прави възможна конструкцията на математическия анализ. За да илюстрираме важността му, нека посочим две основни последици от него.

Следствия от аксиомите

Някои важни свойства на реалните числа следват директно от аксиомите, напр.

• уникалността на нулата,
• уникалността на противоположните и обратните елементи.

Литература

• Зорич В. А.Математически анализ. Том I. M.: Phasis, 1997, глава 2.

Вижте също

Връзки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е „Аксиоматика на реални числа“ в други речници:

Реално или реално число е математическа абстракция, възникнала от необходимостта да се измерват геометрични и физически величини на околния свят, както и да се извършват такива операции като извличане на корени, изчисляване на логаритми, решаване на... ... Wikipedia

Реалните или реалните числа са математическа абстракция, която служи по-специално за представяне и сравняване на стойностите на физическите величини. Такова число може да бъде интуитивно представено като описващо позицията на точка върху права.... ... Wikipedia

Реалните или реалните числа са математическа абстракция, която служи по-специално за представяне и сравняване на стойностите на физическите величини. Такова число може да бъде интуитивно представено като описващо позицията на точка върху права.... ... Wikipedia

Реалните или реалните числа са математическа абстракция, която служи по-специално за представяне и сравняване на стойностите на физическите величини. Такова число може да бъде интуитивно представено като описващо позицията на точка върху права.... ... Wikipedia

Реалните или реалните числа са математическа абстракция, която служи по-специално за представяне и сравняване на стойностите на физическите величини. Такова число може да бъде интуитивно представено като описващо позицията на точка върху права.... ... Wikipedia

Реалните или реалните числа са математическа абстракция, която служи по-специално за представяне и сравняване на стойностите на физическите величини. Такова число може да бъде интуитивно представено като описващо позицията на точка върху права.... ... Wikipedia

Реалните или реалните числа са математическа абстракция, която служи по-специално за представяне и сравняване на стойностите на физическите величини. Такова число може да бъде интуитивно представено като описващо позицията на точка върху права.... ... Wikipedia

Уикиречник има статия „аксиома“ Аксиома (старогръцки ... Уикипедия

Аксиома, която се намира в различни аксиоматични системи. Аксиоматика на реалните числа Аксиоматика на Хилберт на евклидовата геометрия Аксиоматика на Колмогоров на теория на вероятностите ... Wikipedia

Аксиоматичен метод в математиката.

Основни понятия и отношения на аксиоматичната теория на естествените редове. Дефиниция на естествено число.

Събиране на естествени числа.

Умножение на естествени числа.

Свойства на множеството от естествени числа

Изваждане и деление на естествени числа.

Аксиоматичен метод в математиката

При аксиоматичното изграждане на всяка математическа теория се спазват следните правила: определени правила:

1. Някои концепции на теорията са избрани като основени се приемат без определение.

2. Са формулирани аксиоми, които в тази теория се приемат без доказателство, те разкриват свойствата на основните понятия.

3. Дадено е всяко понятие от теорията, което не се съдържа в списъка на основните определение, той обяснява значението си с помощта на основните и предходните понятия.

4. Всяко твърдение на теория, което не се съдържа в списъка с аксиоми, трябва да бъде доказано. Такива предложения се наричат теоремии ги доказвайте на базата на аксиоми и теореми, предхождащи разглежданата.

Системата от аксиоми трябва да бъде:

а) последователен:трябва да сме сигурни, че извличайки всички възможни изводи от дадена система от аксиоми, никога няма да стигнем до противоречие;

б) независими: нито една аксиома не трябва да бъде следствие от други аксиоми на тази система.

V) пълен, ако в неговата рамка винаги е възможно да се докаже или дадено твърдение, или неговото отрицание.

Първият опит в изграждането на аксиоматична теория може да се счита за представянето на геометрията от Евклид в неговите „Елементи“ (3 век пр.н.е.). Значителен принос за развитието на аксиоматичния метод за конструиране на геометрия и алгебра направи Н.И. Лобачевски и Е. Галоа. В края на 19в. Италианският математик Пеано разработи система от аксиоми за аритметика.

Основни понятия и отношения на аксиоматичната теория на естествените числа. Дефиниция на естествено число.

Като основно (недефинирано) понятие в определен набор н е избрано поведение , а също така използва концепции от теория на множествата, както и правилата на логиката.

Елементът непосредствено след елемента а,обозначавам А".

Връзката "директно следване" отговаря на следните аксиоми:

Аксиомите на Пеано:

Аксиома 1. В изобилие н има елемент директно не следващияне за нито един елемент от този набор. Да му се обадим мерна единицаи се обозначава със символа 1 .

Аксиома 2. За всеки елемент А от н има само един елемент а" , непосредствено след него А .

Аксиома 3. За всеки елемент А от нима най-много един елемент, който е непосредствено последван от А .

Аксиома 4.Всяко подмножество М комплекти н съвпада с н , ако има следните свойства: 1) 1 съдържано в М ; 2) от факта, че А съдържано в М , следва, че а" съдържано в М.

Определение 1. Няколко н , за чиито елементи се установява връзката "директно следвайте“, отговарящ на аксиоми 1-4, се нарича набор от естествени числа, а неговите елементи са естествени числа.

Това определение не казва нищо за природата на елементите на множеството н . Така че може да бъде всичко. Избор като комплект н някакво специфично множество, върху което е дадено специфично отношение „директно следване“, удовлетворяващо аксиоми 1-4, получаваме модел на тази система аксиома.

Стандартният модел на аксиомната система на Пеано е поредица от числа, възникнали в процеса на историческото развитие на обществото: 1,2,3,4,... Естествената поредица започва с числото 1 (аксиома 1); всяко естествено число е непосредствено последвано от едно естествено число (аксиома 2); всяко естествено число следва непосредствено най-много едно естествено число (аксиома 3); започвайки от числото 1 и преминавайки към естествените числа непосредствено едно след друго, получаваме целия набор от тези числа (аксиома 4).

И така, започнахме аксиоматичното изграждане на система от естествени числа, като избрахме основното връзка "директно следване".и аксиоми, които описват неговите свойства. По-нататъшното изграждане на теорията включва разглеждане на известните свойства на естествените числа и операциите върху тях. Те трябва да бъдат разкрити в дефиниции и теореми, т.е. се извличат чисто логически от релацията “пряко следват”, а аксиоми 1-4.

Първото понятие, което ще въведем след дефинирането на естествено число, е поведение "непосредствено предшества" , което често се използва при разглеждане на свойствата на естествените серии.

Определение 2.Ако естествено число b директно следваестествено число А, това число А Наречен непосредствено предхождащ(или предишен) номер b .

Отношението „предхожда“ има редица имоти.

Теорема 1. Единицата няма предходно естествено число.

Теорема 2. Всяко естествено число А, различно от 1, има едно предходно число б,такова, че б"= А.

Аксиоматичното изграждане на теорията на естествените числа не се разглежда нито в началните, нито в средните училища. Въпреки това, тези свойства на връзката „пряко следват“, които са отразени в аксиомите на Пеано, са предмет на изучаване в началния курс по математика. Още в първи клас, когато се разглеждат числата от първата десетка, става ясно как може да се получи всяко число. Използват се понятията „следва“ и „предхожда“. Всяко ново число действа като продължение на изучавания сегмент от естествената редица от числа. Учениците са убедени, че всяко число е последвано от следващо и освен това само едно, че естествената редица от числа е безкрайна.

Събиране на естествени числа

Съгласно правилата за изграждане на аксиоматична теория, определението за събиране на естествени числа трябва да бъде въведено, като се използва само връзката "директно следване", и концепции "естествено число"И "предишно число".

Нека предхождаме определението за добавяне със следните съображения. Ако към всяко естествено число Адобавяме 1, получаваме числото А",непосредствено след това А, т.е. А+ 1= а"и следователно получаваме правилото за добавяне на 1 към всяко естествено число. Но как да добавя към число Аестествено число б,различно от 1? Нека използваме следния факт: ако знаем, че 2 + 3 = 5, тогава сборът е 2 + 4 = 6, което следва непосредствено числото 5. Това се случва, защото в сбора 2 + 4 вторият член е числото, непосредствено следващо числото 3. Така 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". Като цяло имаме , .

Тези факти формират основата за определението за събиране на естествени числа в аксиоматичната теория.

Определение 3. Събиране на естествени числае алгебрична операция, която има следните свойства:

Номер a + b Наречен сбор от числа АИ b , и самите числа АИ b - условия.

Система с цели числа

Нека си спомним, че естествената серия се появява, за да изброява обекти. Но ако искаме да извършим някакви действия с обекти, тогава ще ни трябват аритметични операции с числа. Тоест, ако искаме да наредим ябълки или да разделим торта, трябва да преведем тези действия на езика на числата.

Моля, обърнете внимание, че за да се въведат операциите + и * в езика на естествените числа, е необходимо да се добавят аксиоми, които определят свойствата на тези операции. Но тогава наборът от естествени числа също е такъв разширяване.

Нека да видим как се разширява множеството от естествени числа. Най-простата операция, която беше една от първите, които се изискваха, е събирането. Ако искаме да дефинираме операцията събиране, трябва да дефинираме нейното обратно действие - изваждане. Всъщност, ако знаем какъв ще бъде резултатът от събирането, например, 5 и 2, тогава трябва да можем да решаваме задачи като: какво трябва да се добави към 4, за да получим 11. Тоест задачите, свързани със събирането, определено ще изискват умение за извършване на обратно действие - изваждане. Но ако добавянето на естествени числа дава отново естествено число, тогава изваждането на естествени числа дава резултат, който не се вписва в N. Бяха необходими някои други числа. По аналогия с разбираемото изваждане на по-малко число от по-голямо число беше въведено правилото за изваждане на по-голямо число от по-малко число - така се появиха отрицателните цели числа.

Допълвайки естествения ред с операциите + и -, стигаме до множеството от цели числа.

Z=N+операции(+-)

Системата от рационални числа като език на аритметиката

Нека сега разгледаме следващото най-сложно действие - умножението. По същество това е многократно добавяне. И произведението на цели числа остава цяло число.

Но обратната операция на умножението е деленето. Но не винаги дава най-добри резултати. И отново сме изправени пред дилема - или да приемем за даденост, че резултатът от деленето може да „не съществува“, или да излезем с числа от някакъв нов тип. Така се появиха рационалните числа.

Нека вземем система от цели числа и я допълним с аксиоми, които определят операциите умножение и деление. Получаваме система от рационални числа.

Q=Z+операции(*/)

И така, езикът на рационалните числа ни позволява да произвеждаме всички аритметични операциинад числата. Езикът на естествените числа не беше достатъчен за това.

Нека дадем аксиоматично определение на системата от рационални числа.

Определение. Множество Q се нарича множество от рационални числа, а неговите елементи се наричат ​​рационални числа, ако е изпълнен следният набор от условия, наречен аксиоматика на рационални числа:

Аксиоми на операцията събиране. За всеки поръчан чифт x,yелементи от Qопределен е някакъв елемент x+yОQ, наречена сума хИ при. В този случай са изпълнени следните условия:

1. (Наличие на нула) Съществува елемент 0 (нула), такъв че за всяко хÎQ

х+0=0+х=Х.

2. За всеки елемент хО Q има елемент - хО Q (обратно х) така че

х+ (-Х) = (-Х) + х = 0.

3. (Комутативност) За всякакви x,yО Q

4. (Асоциативност) За произволни x,y,zО Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Аксиоми на действието умножение.

За всеки поръчан чифт x, yелементи от Q е дефиниран някакъв елемент xyО Q, наречен продукт хИ u.В този случай са изпълнени следните условия:

5. (Наличие на единичен елемент) Съществува елемент 1 О Q такъв, че за всеки хО Q

х . 1 = 1. х = х

6. За всеки елемент хО Q , ( х≠ 0) има обратен елемент х-1 ≠0 така че

Х. x -1 = x -1. х = 1

7. (Асоциативност) За всякакви x, y, zО Q

х . (г . z) = (x . y) . z

8. (Комутативност) За всякакви x, yО Q

Аксиома за връзката между събиране и умножение.

9. (Дистрибутивност) За всяко x, y, zО Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Аксиоми на реда.

Всеки два елемента x, y,О Q влизат в сравнителна връзка ≤. В този случай са изпълнени следните условия:

10. (х≤при)L ( при≤х) ó x=y

11. (Х≤y)Л ( y≤ z) => х≤z

12. За всеки x, yО Q или x< у, либо у < x .

Поведение< называется строгим неравенством,

Отношението = се нарича равенство на елементи от Q.

Аксиома за връзката между събиране и ред.

13. За произволни x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Аксиома за връзката между умножение и ред.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Аксиома на Архимед за непрекъснатост.

15. За всяко a > b > 0 съществуват m О N и n О Q такива, че m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Така системата от рационални числа е езикът на аритметиката.

Този език обаче не е достатъчен за решаване на практически изчислителни проблеми.

Когато аксиоматично конструирате всяка математическа теория, определено правила:

· някои понятия от теорията се избират като основни и се приемат без определение;

· на всяко понятие от теорията, което не се съдържа в списъка на основните, се дава определение;

· формулират се аксиоми – положения, които в дадена теория се приемат без доказателство; разкриват свойствата на основните понятия;

· всяко твърдение на теорията, което не се съдържа в списъка с аксиоми, трябва да бъде доказано; Такива твърдения се наричат ​​теореми и се доказват въз основа на аксиоми и теореми.

В аксиоматичното изграждане на теория всички твърдения се извличат от аксиоми чрез доказателство.

Следователно към системата от аксиоми се прилагат специални изисквания. изисквания:

· последователност (система от аксиоми се нарича последователна, ако две взаимно изключващи се съждения не могат да бъдат логически изведени от нея);

· независимост (система от аксиоми се нарича независима, ако нито една от аксиомите на тази система не е следствие от други аксиоми).

Множество със зададена в него релация се нарича модел на дадена аксиомна система, ако в нея са изпълнени всички аксиоми на дадената система.

Има много начини да се конструира система от аксиоми за набор от естествени числа. Например сума от числа или връзка на реда може да се приеме като основно понятие. Във всеки случай трябва да дефинирате система от аксиоми, които описват свойствата на основните понятия.

Нека дадем система от аксиоми, приемайки основната концепция за операцията събиране.

Непразно множество ннаричаме го набор от естествени числа, ако операцията е дефинирана в него (а; б) → а + б, наречено събиране и имащо следните свойства:

1. събирането е комутативно, т.е. a + b = b + a.

2. добавянето е асоциативно, т.е. (a + b) + c = a + (b + c).

4. във всеки комплект А, което е подмножество на множеството н, Където Аима номер и такъв, че всичко ха, са равни a+b, Където bN.

Аксиоми 1 - 4 са достатъчни, за да се изгради цялата аритметика на естествените числа. Но с такава конструкция вече не е възможно да се разчита на свойствата на крайните множества, които не са отразени в тези аксиоми.

Нека приемем като основно понятие релацията “директно следване...”, дефинирана върху непразно множество н. Тогава естествената редица от числа ще бъде множеството N, в което е дефинирана връзката „непосредствено следват“, а всички елементи на N ще се наричат ​​естествени числа и е валидно следното: Аксиомите на Пеано:

АКСИОМА 1.

В изобилиенима елемент, който не следва непосредствено нито един елемент от това множество. Ще го наречем единица и ще го обозначим със символа 1.

АКСИОМА 2.

За всеки елемент a отнима един елемент a непосредствено след a.

АКСИОМА 3.

За всеки елемент a отнИма най-много един елемент, последван непосредствено от a.

AXOIMA 4.

Всяко подмножество M от множествотонсъвпада сн, ако има следните свойства: 1) 1 се съдържа в M; 2) от факта, че a се съдържа в M, следва, че a също се съдържа в M.

Няколко Н,за чиито елементи е установена връзката “пряко следват...”, удовлетворяваща аксиоми 1 - 4, се нарича набор от естествени числа , а неговите елементи са естествени числа.

Ако като комплект низберете някакъв специфичен набор, върху който е дадена специфична релация „директно следване ...“, удовлетворяваща аксиоми 1 - 4, тогава получаваме различни интерпретации (модели) дадено аксиомни системи.

Стандартният модел на аксиомната система на Пеано е поредица от числа, възникнали в процеса на историческото развитие на обществото: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Моделът на аксиомите на Пеано може да бъде всяко изброимо множество.

Например I, II, III, IIII, ...

о, о, о, о, о...

едно две три четири, …

Нека разгледаме поредица от множества, в която множество (oo) е началният елемент, а всяко следващо множество се получава от предишното чрез добавяне на още една окръжност (фиг. 15).

Тогава нима множество, състоящо се от множества от описаната форма, и то е модел на аксиомната система на Пеано.

Наистина в много нима елемент (oo), който не следва непосредствено никой елемент от даденото множество, т.е. Аксиома 1 е изпълнена.За всяко множество Аот разглежданата съвкупност има единичен набор, който се получава от Акато добавим един кръг, т.е. Важи аксиома 2. За всяко множество Аима най-много едно множество, от което се образува множество Акато добавим един кръг, т.е. Важи аксиома 3. Ако Мна е известно, че мнозина Асъдържано в М,следва, че множество, в което има една окръжност повече, отколкото в множеството А, също се съдържа в М, Че М =ни следователно аксиома 4 е изпълнена.

В дефиницията на естествено число не може да бъде пропусната нито една от аксиомите.

Нека установим кои от множествата, показани на фиг. 16 са модел на аксиомите на Пеано.

1 a b d a G) Фиг.16

Решение.Фигура 16 а) показва набор, в който са изпълнени аксиоми 2 и 3. Наистина, за всеки елемент има уникален елемент непосредствено след него и има уникален елемент, който следва. Но в този набор аксиома 1 не е изпълнена (аксиома 4 няма смисъл, тъй като няма елемент в набора, който да не следва непосредствено друг). Следователно този набор не е модел на аксиомите на Пеано.

Фигура 16 b) показва набор, в който аксиоми 1, 3 и 4 са изпълнени, но зад елемента Аведнага следват два елемента, а не един, както се изисква в аксиома 2. Следователно този набор не е модел на аксиомите на Пеано.

На фиг. 16 c) показва набор, в който аксиоми 1, 2, 4 са изпълнени, но елементът снепосредствено следва незабавно два елемента. Следователно този набор не е модел на аксиомите на Пеано.

На фиг. 16 d) показва набор, който удовлетворява аксиоми 2, 3 и ако вземем числото 5 като начален елемент, тогава този набор ще удовлетворява аксиоми 1 и 4. Тоест, в този набор за всеки елемент веднага има уникален след него и има един единствен елемент, който следва. Има и елемент, който не следва веднага нито един елемент от този набор, това е 5 , тези. Изпълнена е аксиома 1. Съответно ще бъде изпълнена и аксиома 4. Следователно този набор е модел на аксиомите на Пеано.

Използвайки аксиомите на Пеано, можем да докажем редица твърдения.Например, ще докажем, че за всички естествени числа неравенството x x.

Доказателство.Нека означим с Анабор от естествени числа, за които а а.Номер 1 принадлежи А, тъй като не следва никакво число от н, което означава, че не следва от само себе си: 1 1. Позволявам аА,Тогава а а.Нека обозначим Апрез b. По силата на аксиома 3, Аб,тези. б бИ bA.

ОМСК ДЪРЖАВЕН ПЕДАГОГИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ
КЛИОН НА Омския държавен педагогически университет в ТАР
ББК Издава се по решение на редакционно-изд
22ya73 сектор на филиала на Омския държавен педагогически университет в Тара
Ch67

Препоръките са предназначени за студенти от педагогически университети, изучаващи дисциплината "Алгебра и теория на числата". В рамките на тази дисциплина, в съответствие с държавния стандарт, в 6-ти семестър се изучава разделът „Бройни системи”. Тези препоръки представят материал за аксиоматичното изграждане на системи от естествени числа (системата на аксиомите на Пеано), системи от цели числа и рационални числа. Тази аксиоматика ни позволява да разберем по-добре какво е число, което е една от основните концепции на училищния курс по математика. За по-добро усвояване на материала са дадени задачи по съответните теми. В края на препоръките има отговори, инструкции и решения на проблеми.

Рецензент: д-р на педагогическите науки, проф. Dalinger V.A.

в) Можан Н.Н.

Подписан за печат - 22.10.98

Вестникарска хартия
Тираж 100 бр.
Оперативен метод на печат
Омски държавен педагогически университет, 644099, Омск, наб. Тухачевски, 14
клон, 644500, гр. Тара, ул. Школная, 69

1. ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА.

При аксиоматичното изграждане на система от естествени числа ще приемем, че понятието множество, отношения, функции и други теоретико-множествени понятия са известни.

1.1 Системата на аксиомите на Пеано и най-простите следствия.

Първоначалните понятия в аксиоматичната теория на Пеано са множеството N (което ще наричаме множество от естествени числа), специалното число нула (0) от него и двоичното отношение „следва“ върху N, обозначено като S(a) (или а()).
АКСИОМИ:
1. ((a(N) a"(0 (Има естествено число 0, което не следва никое число.)
2. a=b (a"=b" (За всяко естествено число a има естествено число a" след него и само едно.)
3. a"=b" (a=b (Всяко естествено число следва най-много едно число.)
4. (аксиома на индукция) Ако множеството M(N и M удовлетворява две условия:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, тогава M=N.
Във функционалната терминология това означава, че преобразуването S:N®N е инжективно. От аксиома 1 следва, че преобразуването S:N®N не е сюръективно. Аксиома 4 е основата за доказване на твърдения „по метода на математическата индукция“.
Нека отбележим някои свойства на естествените числа, които пряко следват от аксиомите.
Свойство 1. Всяко естествено число a(0 следва едно и само едно число.
Доказателство. Нека M означава множеството от естествени числа, съдържащи нула и всички онези естествени числа, всяко от които следва някакво число. Достатъчно е да покажем, че M=N, уникалността следва от аксиома 3. Нека приложим индуктивната аксиома 4:
A) 0(M - по конструкция на множеството M;
B) ако a(M, тогава a"(M, защото a" следва a.
Това означава, според аксиома 4, M=N.
Свойство 2. Ако a(b, то a"(b).
Свойството се доказва чрез противоречие с помощта на аксиома 3. Следното свойство 3 се доказва по подобен начин с помощта на аксиома 2.
Свойство 3. Ако a"(b", тогава a(b.
Свойство 4. ((a(N)a(a". (Никакво естествено число не следва само себе си.)
Доказателство. Нека M=(x (x(N, x(x")). Достатъчно е да покажем, че M=N. Тъй като според аксиома 1 ((x(N)x"(0, тогава по-специално 0"(0 , и по този начин условие A) на аксиома 4 0(M - е изпълнено. Ако x(M, т.е. x(x", тогава по свойство 2 x"((x")", което означава, че условие B) x ( M ® x"(M. Но тогава, съгласно аксиома 4, M=N.
Нека ( е някакво свойство на естествените числа. Фактът, че число a има свойството (, ще пишем ((a).
Задача 1.1.1. Докажете, че аксиома 4 от дефиницията на множеството от естествени числа е еквивалентна на следното твърдение: за всяко свойство (, ако ((0) и, тогава.
Задача 1.1.2. Върху набор от три елемента A=(a,b,c), унарната операция ( е дефинирана по следния начин: a(=c, b(=c, c(=a). Кои от аксиомите на Пеано са верни в множеството A с операцията (?
Задача 1.1.3. Нека A=(a) е единично множество, a(=a. Кои от аксиомите на Пеано са верни за множеството A с операцията (?
Задача 1.1.4. Върху множеството N дефинираме унарна операция, приемайки за произволно. Разберете дали твърденията на аксиомите на Пеано, формулирани по отношение на операцията, ще бъдат верни в N.
Задача 1.1.5. Нека бъде. Докажете, че A е затворено спрямо операцията (. Проверете истинността на аксиомите на Пеано върху множеството A с операцията (.
Задача 1.1.6. Нека бъде,. Нека дефинираме унарна операция върху A, настройка. Кои от аксиомите на Пеано са верни на множеството A с операцията?

1.2. Последователност и категоричност на аксиомната система на Пеано.

Система от аксиоми се нарича последователна, ако от нейните аксиоми е невъзможно да се докаже теорема T и нейното отрицание (T. Ясно е, че противоречивите системи от аксиоми нямат значение в математиката, защото в такава теория може да се докаже всичко и такова теорията не отразява законите на реалния свят. Следователно последователността на системата от аксиоми е абсолютно необходимо изискване.
Ако теоремата T и нейните отрицания (T) не се намират в аксиоматична теория, това не означава, че системата от аксиоми е последователна; такива теории могат да се появят в бъдеще. Следователно последователността на системата от аксиоми трябва да бъде доказана. най-честият начин за доказване на последователност е методът на интерпретация, основан на факта, че ако има интерпретация на системата от аксиоми в очевидно последователна теория S, тогава самата система от аксиоми е последователна.Наистина, ако системата от аксиоми е непоследователна, тогава теоремите T и (T биха били доказуеми в него, но тогава тези теореми биха били валидни и в неговата интерпретация, а това противоречи на последователността на теория S. Методът на интерпретация позволява да се докаже само относителната последователност на теорията.
Много различни интерпретации могат да бъдат конструирани за аксиомната система на Пеано. Теорията на множествата е особено богата на интерпретации. Нека посочим една от тези интерпретации. Ще считаме множествата (, ((), ((()), (((())),... за естествени числа; ще считаме нулата за специално число (. Отношението „следва“ ще се тълкува по следния начин: множеството M е последвано от множество (M), чийто единствен елемент е самият M. По този начин ("=((), (()"=((()) и т.н. Осъществимостта на аксиоми 1-4 могат лесно да бъдат проверени. Ефективността на такава интерпретация обаче е малка: тя показва, че системата от аксиоми на Пеано е последователна, ако теорията на множествата е последователна. Но доказването на последователността на системата от аксиоми на теорията на множествата е още по-трудно задача , Най-убедителната интерпретация на системата от аксиоми на Пеано е интуитивната аритметика, чиято последователност се потвърждава от вековния опит в нейното развитие.
Съгласувана система от аксиоми се нарича независима, ако всяка аксиома от тази система не може да бъде доказана като теорема въз основа на други аксиоми. Да се ​​докаже, че аксиомата (не зависи от други аксиоми на системата
(1, (2, ..., (n, ((1)
достатъчно е да се докаже, че системата от аксиоми е последователна
(1, (2, ..., (n, (((2)
Наистина, ако (беше доказано на базата на останалите аксиоми на система (1), тогава системата (2) би била противоречива, тъй като в нея теоремата (и аксиомата ((.
И така, за да се докаже независимостта на аксиомата (от другите аксиоми на системата (1), е достатъчно да се изгради интерпретация на системата от аксиоми (2).
Независимостта на аксиомната система е незадължително изискване. Понякога, за да се избегне доказването на „трудни“ теореми, се конструира съзнателно излишна (зависима) система от аксиоми. „Допълнителните“ аксиоми обаче затрудняват изучаването на ролята на аксиомите в теорията, както и на вътрешните логически връзки между различните раздели на теорията. В допълнение, конструирането на интерпретации за зависими системи от аксиоми е много по-трудно, отколкото за независими такива; В крайна сметка трябва да проверим валидността на „допълнителните“ аксиоми. Поради тези причини на въпроса за зависимостта между аксиомите се придава първостепенно значение от древни времена. По едно време опитите да се докаже, че постулат 5 в аксиомите на Евклид „Има най-много една права, минаваща през точка А, успоредна на правата (“ е теорема (т.е. зависи от останалите аксиоми) и доведе до откритието на Лобачевски геометрия.
Една последователна система се нарича дедуктивно пълна, ако всяко твърдение А на дадена теория може да бъде или доказано, или опровергано, тоест или А, или (А е теорема на тази теория. Ако има предложение, което не може нито да бъде доказано, нито опровергано, тогава системата от аксиоми се нарича дедуктивно непълна. Дедуктивната пълнота също не е задължително изискване. Например системата от аксиоми на теорията на групите, теорията на пръстените, теорията на полето са непълни; тъй като има както крайни, така и безкрайни групи, пръстени, полета , тогава в тези теории е невъзможно нито да се докаже, нито да се отхвърли твърдението: "Една група (пръстен, поле) съдържа краен брой елементи."
Трябва да се отбележи, че в много аксиоматични теории (а именно в неформализираните) наборът от твърдения не може да се счита за точно определен и следователно е невъзможно да се докаже дедуктивната пълнота на системата от аксиоми на такава теория. Друго чувство за пълнота се нарича категоричност. Система от аксиоми се нарича категорична, ако всеки две от нейните интерпретации са изоморфни, т.е. съществува такова едно-към-едно съответствие между наборите от първоначални обекти на едната и другата интерпретация, което се запазва при всички начални отношения. Категоричността също е незадължително условие. Например системата от аксиоми на теорията на групите не е категорична. Това следва от факта, че една крайна група не може да бъде изоморфна на безкрайна група. При аксиоматизирането на теорията на всяка бройна система обаче категоричността е задължителна; например категоричният характер на системата от аксиоми, дефиниращи естествените числа, означава, че с точност до изоморфизъм има само една естествена серия.
Нека докажем категоричността на системата от аксиоми на Пеано. Нека (N1, s1, 01) и (N2, s2, 02) са произволни две интерпретации на системата от аксиоми на Пеано. Изисква се да се посочи биективно (едно към едно) преобразуване f:N1®N2, за което са изпълнени следните условия:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) за всяко x от N1;
б) f(01)=02
Ако и двете унарни операции s1 и s2 са означени с едно и също просто число, тогава условие a) ще бъде пренаписано като
а) f(x()=f(x)(.
Нека дефинираме двоично отношение f върху множеството N1(N2) чрез следните условия:
1) 01f02;
2) ако xfy, тогава x(fy(.
Нека се уверим, че тази връзка е преобразуване от N1 към N2, тоест за всяко x от N1
(((y(N2) xfy (1)
Нека M1 означава множеството от всички елементи x от N1, за които е изпълнено условие (1). Тогава
A) 01(M1 поради 1);
B) x(M1 ® x((M1 по силата на 2) и свойства 1 от параграф 1.
От тук, съгласно аксиома 4, заключаваме, че M1=N1, а това означава, че релацията f е преобразуване на N1 в N2. Освен това от 1) следва, че f(01)=02. Условие 2) е написано във формата: ако f(x)=y, тогава f(x()=y(. Следва, че f(x()=f(x)(). По този начин, за да се покаже f условие a ) и b) са изпълнени.Остава да докажем, че отображението f е биективно.
Нека означим с M2 множеството от онези елементи от N2, всеки от които е образ на един и само един елемент от N1 при отображението f.
Тъй като f(01)=02, тогава 02 е изображение. Освен това, ако x(N2 и x(01), тогава по свойство 1 на точка 1 x следва някакъв елемент c от N1 и тогава f(x)=f(c()=f(c)((02. Това означава 02 е изображение на единствения елемент 01, тоест 02(M2.
Нека освен това y(M2 и y=f(x), където x е единственият обратен образ на елемента y. Тогава, по условие a) y(=f(x)(=f(x()), т.е. y(е образът на елемента x (. Нека c е произволен обратен образ на елемента y(, т.е. f(c)=y(. Тъй като y((02, тогава c(01 и за c е предходният) елемент, който обозначаваме с d. Тогава y(=f( c)=f(d()=f(d)(), откъдето по аксиома 3 y=f(d). Но тъй като y(M2, тогава d= x, откъдето c=d(=x(. Доказахме, че ако y е образ на уникален елемент, тогава y(е образ на уникален елемент, т.е. y(M2 ® y((M2. И двете) условията на аксиома 4 са изпълнени и следователно M2=N2, което завършва доказателството за категоричност.
Цялата предгръцка математика е била емпирична по природа. Отделни елементи от теорията бяха удавени в масата от емпирични методи за решаване на практически проблеми. Гърците подлагат този емпиричен материал на логическа обработка и се опитват да намерят връзки между различни емпирични сведения. В този смисъл Питагор и неговата школа (V в. пр. н. е.) играят голяма роля в геометрията. Идеите на аксиоматичния метод са ясно чути в произведенията на Аристотел (4 век пр.н.е.). Практическото прилагане на тези идеи обаче е извършено от Евклид в неговите Елементи (3 век пр.н.е.).
Понастоящем могат да се разграничат три форми на аксиоматични теории.
1). Смислена аксиоматика, която беше единствена до средата на миналия век.
2). Полуформална аксиоматика, възникнала през последната четвърт на миналия век.
3). Формална (или формализирана) аксиоматика, чиято дата на раждане може да се счита за 1904 г., когато Д. Хилберт публикува известната си програма за основните принципи на формализираната математика.
Всяка нова форма не отрича предишната, а е нейното развитие и изясняване, така че нивото на строгост на всяка нова форма е по-високо от предишната.
Интензивната аксиоматика се характеризира с факта, че първоначалните понятия имат интуитивно ясен смисъл още преди аксиомите да бъдат формулирани. Така в Елементите на Евклид точка означава точно това, което интуитивно разбираме под това понятие. В случая се използва обикновен език и обикновена интуитивна логика, датираща от Аристотел.
Полуформалните аксиоматични теории също използват обикновен език и интуитивна логика. Въпреки това, за разлика от смислената аксиоматика, на оригиналните понятия не се придава никакво интуитивно значение; те се характеризират само с аксиоми. Това повишава строгостта, тъй като интуицията до известна степен пречи на строгостта. Освен това се придобива обобщеност, тъй като всяка теорема, доказана в такава теория, ще бъде валидна при всякаква интерпретация. Пример за полуформална аксиоматична теория е теорията на Хилберт, изложена в книгата му „Основи на геометрията“ (1899). Примери за полуформални теории са също теорията на пръстените и редица други теории, представени в курс по алгебра.
Пример за формализирана теория е пропозиционалното смятане, изучавано в курса по математическа логика. За разлика от субстантивната и полуформалната аксиоматика, формализираната теория използва специален символен език. А именно, дадена е азбуката на теорията, тоест определен набор от символи, които играят същата роля като буквите в обикновения език. Всяка крайна последователност от знаци се нарича израз или дума. Сред изразите се разграничава клас формули и се посочва точен критерий, който позволява за всеки израз да се установи дали е формула. Формулите играят същата роля като изреченията в обикновения език. Някои от формулите са обявени за аксиоми. Освен това са посочени правила за логически извод; Всяко такова правило означава, че определена формула директно следва от определен набор от формули. Доказателството на самата теорема е крайна верига от формули, в която последната формула е самата теорема и всяка формула е или аксиома, или предварително доказана теорема, или директно следва от предишните формули на веригата според една от правилата за умозаключение. По този начин няма абсолютно никакъв въпрос относно строгостта на доказателствата: или дадена верига е доказателство, или не е; няма съмнителни доказателства. В тази връзка формализираната аксиоматика се използва в особено тънки въпроси на обосноваване на математически теории, когато обикновената интуитивна логика може да доведе до погрешни заключения, възникващи главно поради неточностите и неяснотите на нашия обикновен език.
Тъй като във формализирана теория може да се каже за всеки израз дали е формула, тогава наборът от изречения на формализирана теория може да се счита за определен. В тази връзка по принцип може да се постави въпросът за доказване на дедуктивна пълнота, както и доказване на последователност, без да се прибягва до тълкуване. В редица прости случаи това може да се постигне. Например последователността на пропозиционалното смятане се доказва без интерпретация.
В неформализираните теории много твърдения не са ясно дефинирани, така че е безсмислено да се повдига въпросът за доказване на последователност, без да се прибягва до интерпретации. Същото важи и за въпроса за доказване на дедуктивна пълнота. Въпреки това, ако се срещне предложение за неформализирана теория, която не може нито да бъде доказана, нито опровергана, тогава теорията очевидно е дедуктивно непълна.
Аксиоматичният метод отдавна се използва не само в математиката, но и във физиката. Първите опити в тази насока са направени от Аристотел, но аксиоматичният метод получава реално приложение във физиката едва в трудовете на Нютон по механика.
Във връзка с бързия процес на математизация на науките протича и процес на аксиоматизация. В момента аксиоматичният метод дори се използва в някои области на биологията, например в генетиката.
Въпреки това възможностите на аксиоматичния метод не са неограничени.
На първо място, отбелязваме, че дори във формализираните теории не е възможно напълно да се избегне интуицията. Самата формализирана теория без интерпретации няма смисъл. Поради това възникват редица въпроси относно връзката между формализирана теория и нейната интерпретация. Освен това, както във формализираните теории, се повдигат въпроси относно последователността, независимостта и пълнотата на системата от аксиоми. Съвкупността от всички такива въпроси съставлява съдържанието на друга теория, която се нарича метатеория на формализирана теория. За разлика от формализираната теория, езикът на метатеорията е обикновен ежедневен език и логическите разсъждения се извършват по правилата на обикновената интуитивна логика. Така интуицията, напълно изгонена от формализираната теория, се появява отново в нейната метатеория.
Но това не е основната слабост на аксиоматичния метод. Вече споменахме програмата на Д. Хилберт, която постави основата на формализирания аксиоматичен метод. Основната идея на Хилберт е да изрази класическата математика като формализирана аксиоматична теория и след това да докаже нейната последователност. Тази програма обаче в основните си точки се оказа утопична. През 1931 г. австрийският математик К. Гьодел доказва известните си теореми, от които следва, че и двата основни проблема, поставени от Хилберт, са невъзможни. Използвайки своя метод на кодиране, той успя да изрази някои верни предположения от метатеорията, използвайки формули на формалната аритметика и да докаже, че тези формули не могат да бъдат изведени във формалната аритметика. Така формализираната аритметика се оказва дедуктивно непълна. От резултатите на Гьодел следва, че ако тази недоказуема формула е включена в броя на аксиомите, тогава ще има друга недоказуема формула, изразяваща някакво вярно твърдение. Всичко това означаваше, че не само цялата математика, но дори и аритметиката - нейната най-проста част - не можеше да бъде напълно формализирана. По-специално, Гьодел конструира формула, съответстваща на изречението „Формализираната аритметика е последователна“ и показа, че тази формула също не е изведена. Този факт означава, че последователността на формализираната аритметика не може да бъде доказана в самата аритметика. Разбира се, възможно е да се конструира по-силна формализирана теория и да се използват нейните средства, за да се докаже последователността на формализираната аритметика, но тогава възниква по-труден въпрос относно последователността на тази нова теория.
Резултатите на Гьодел показват ограниченията на аксиоматичния метод. И все пак в теорията на познанието няма абсолютно никакво основание за песимистични заключения, че има непознаваеми истини. Фактът, че има аритметични истини, които не могат да бъдат доказани във формалната аритметика, не означава, че има непознаваеми истини и не означава, че човешкото мислене е ограничено. Това означава само, че възможностите на нашето мислене не се ограничават до напълно формализирани процедури и че човечеството тепърва ще открива и измисля нови принципи на доказване.

1.3.Събиране на естествени числа

Операциите събиране и умножение на естествени числа не са постулирани от системата на аксиомите на Пеано; ние ще дефинираме тези операции.
Определение. Събирането на естествени числа е двоична алгебрична операция + върху множеството N, която има следните свойства:
1s. ((a(N) a+0=a;
2в. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Възниква въпросът има ли такава операция и ако има единствена ли е?
Теорема. Има само едно събиране на естествени числа.
Доказателство. Двоична алгебрична операция върху множеството N е преобразуването (:N(N®N. Изисква се да се докаже, че има уникално преобразуване (:N(N®N) със свойства: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(). Ако за всяко естествено число x докажем съществуването на преобразуване fx:N®N със свойства 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(), тогава функцията ((x,y), дефинирана от равенството ((x ,y) (fx(y), ще задоволи условия 1) и 2).
Върху множеството N дефинираме двоичното отношение fx чрез условията:
а) 0fxx;
б) ако yfxz, тогава y(fxz(.
Нека се уверим, че тази връзка е преобразуване от N към N, тоест за всяко y от N
(((z(N) yfxz (1)
Нека M означава множеството от естествени числа y, за които е изпълнено условие (1). Тогава от условие a) следва, че 0(M, и от условие b) и свойство 1 на клауза 1 следва, че ако y(M, тогава y((M. От тук, въз основа на аксиома 4, заключаваме, че M = N и това означава, че релацията fx е преобразуване от N към N. За това преобразуване са изпълнени следните условия:
1() fx(0)=x - поради a);
2() fx((y)=fx(y() - по силата на b).
По този начин съществуването на добавяне е доказано.
Нека докажем уникалност. Нека + и ( са произволни две двоични алгебрични операции върху множеството N със свойства 1c и 2c. Трябва да докажем, че
((x,y(N) x+y=x(y
Нека фиксираме произволно число x и означим с S множеството от тези естествени числа y, за които равенството
x+y=x(y (2)
изпълнени. Тъй като според 1c x+0=x и x(0=x, тогава
A) 0 (S
Нека сега y(S, т.е. равенството (2) е изпълнено. Тъй като x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(и x+y=x(y), тогава по аксиома 2 x+y(=x(y(, тоест условието е изпълнено
B) y(S ® y((S.
Следователно, съгласно аксиома 4, S=N, което завършва доказателството на теоремата.
Нека докажем някои свойства на събирането.
1. Числото 0 е неутрален елемент на събиране, тоест a+0=0+a=a за всяко естествено число a.
Доказателство. Равенството a+0=a следва от условие 1c. Нека докажем равенството 0+a=a.
Нека означим с M множеството от всички числа, за които то важи. Очевидно 0+0=0 и следователно 0(M. Нека a(M, тоест 0+a=a. Тогава 0+a(=(0+a)(=a(и, следователно, a((M Това означава M=N, което трябваше да се докаже.
След това се нуждаем от лема.
Лема. a(+b=(a+b)(.
Доказателство. Нека M е множеството от всички естествени числа b, за които равенството a(+b=(a+b) е вярно за всяка стойност на a. Тогава:
A) 0(M, тъй като a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. Наистина, от факта, че b(M и 2c, имаме
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
т.е. b((M. Това означава M=N, което трябваше да се докаже.
2. Събирането на естествените числа е комутативно.
Доказателство. Нека M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). Достатъчно е да докажем, че M=N. Имаме:
A) 0(M - поради свойство 1.
B) a(M ® a((M. Наистина, прилагайки лемата и факта, че a(M), получаваме:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Това означава a((M, и по аксиома 4 M=N.
3. Събирането е асоциативно.
Доказателство. Позволявам
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
Необходимо е да се докаже, че M=N. Тъй като (a+b)+0=a+b и a+(b+0)=a+b, тогава 0(M. Нека c(M, тоест (a+b)+c=a+(b+c) . Тогава
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Това означава c((M и по аксиома 4 M=N.
4. a+1=a(, където 1=0(.
Доказателство. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Ако b(0, тогава ((a(N)a+b(a.
Доказателство. Нека M=(a(a(N(a+b(a). Тъй като 0+b=b(0, тогава 0(M. Освен това, ако a(M, тоест a+b(a), тогава чрез свойство 2 елемент 1 (a+b)((a(или a(+b(a(. Така че a((M и M=N.
6. Ако b(0, тогава ((a(N)a+b(0.
Доказателство. Ако a=0, тогава 0+b=b(0, но ако a(0 и a=c(, тогава a+b=c(+b=(c+b)(0. Така че във всеки случай a + b(0.
7. (Закон за трихотомията на добавянето). За всякакви естествени числа a и b е вярно едно и само едно от трите отношения:
1) a=b;
2) b=a+u, където u(0;
3) a=b+v, където v(0.
Доказателство. Нека фиксираме произволно число a и означим с M множеството от всички естествени числа b, за които е изпълнено поне едно от отношенията 1), 2), 3). Необходимо е да се докаже, че M=N. Нека b=0. Тогава, ако a=0, тогава връзка 1 е вярна), и ако a(0, тогава връзка 3 е вярна), тъй като a=0+a. Така че 0 (М.
Нека сега приемем, че b(M, т.е. за избраното a едно от отношенията 1), 2), 3) е изпълнено. Ако a=b, тогава b(=a(=a+1, т.е. за b(отношението 2 е в сила). Ако b=a+u, тогава b(=a+u(, т.е. за b( релацията 2). Ако a=b+v, тогава са възможни два случая: v=1 и v(1. Ако v=1, тогава a=b+v=b", т.е. за b" отношения 1 са удовлетворен). Ако същото v(1, тогава v=c", където c(0 и след това a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, където c(0, това е за b" релация 3 е изпълнена). И така, ние доказахме, че b(M®b"(M, и следователно M=N, т.е. за всяко a и b поне едно от отношенията 1), 2), 3 е изпълнено). Нека се уверим, че нито две от тях не могат да бъдат изпълнени едновременно. Действително: ако отношения 1) и 2) бяха удовлетворени, тогава те биха имали b=b+u, където u(0, а това противоречи на свойството 5. Невъзможността за изпълнимост на 1) и 3). И накрая, ако отношения 2) и 3) бяха изпълнени, тогава ще имаме a=(a+u)+v = a+ +(u+v), и това е невъзможно поради свойства 5 и 6. Свойство 7 е напълно доказано.
Задача 1.3.1. Нека 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)). Докажете, че 3+5=8, 2+4=6.

1.4. УМНОЖЕНИЕ НА ЕСТЕСТВЕНИТЕ ЧИСЛА.

Определение 1. Умножението на естествени числа е такава двоична операция (върху множеството N, за която са изпълнени следните условия:
1у. ((x(N) x(0=0;
2u. ((x,y(N) x(y"=x(y+x.
Отново възниква въпросът съществува ли такава операция и ако има единствена ли е?
Теорема. Има само една операция за умножение на естествени числа.
Доказателството се извършва почти по същия начин, както при събирането. Изисква се да се намери преобразуване (:N(N®N), което да отговаря на условията
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Нека фиксираме числото x произволно. Ако докажем за всяко x(N съществуването на преобразуване fx: N®N със свойствата
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
тогава функцията ((x,y), дефинирана от равенството ((x,y)=fx(y) и ще удовлетворява условия 1) и 2).
И така, доказателството на теоремата се свежда до доказване на съществуването и уникалността за всяко x на функцията fx(y) със свойства 1") и 2"). Нека установим съответствие на множеството N по следното правило:
а) числото нула е сравнимо с числото 0,
б) ако числото y е свързано с числото c, то числото y (свържете числото c+x.
Нека се уверим, че при такова сравнение всяко число y има уникален образ: това ще означава, че съответствието е преобразуване на N в N. Нека означим с M множеството от всички естествени числа y, които имат уникален образ. От условие a) и аксиома 1 следва, че 0(M. Нека y(M. Тогава от условие b) и аксиома 2 следва, че y((M. Това означава M=N, т.е. нашето съответствие е преобразуване N в N ; нека го означим с fx. Тогава fx(0)=0 поради условие a) и fx(y()=fx(y)+x - поради условие b).
И така, съществуването на операцията за умножение е доказано. Сега нека (и ( са всякакви две двоични операции върху множеството N със свойства 1у и 2у. Остава да докажем, че ((x,y(N) x(y=x(y). Нека фиксираме произволно число x и нека
S=(y?y(N (x(y=x(y))
Тъй като по силата на 1y, x(0=0 и x(0=0), тогава 0(S. Нека y(S, т.е. x(y=x(y). Тогава
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y()
и следователно y((S. Това означава S=N, което завършва доказателството на теоремата.
Нека отбележим някои свойства на умножението.
1. Неутралният елемент по отношение на умножението е числото 1=0(, което е ((a(N) a(1=1(a=a.
Доказателство. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Така равенството a(1=a) е доказано. Остава да докажем равенството 1(a=a. Нека M=(a ?a(N (1(a=a). Тъй като 1(0=0, тогава 0(M. Нека a(M, тоест 1(a=a. Тогава 1(a(=1(a+1=) a+1= a(, и, следователно, a((M. Това означава, според аксиома 4, M=N, което е това, което трябваше да бъде доказано.
2. За умножението важи правилният разпределителен закон, т.е
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Доказателство. Нека M=(c (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc). Тъй като (a+b)0=0 и a(0+b(0=0 , тогава 0(M. Ако c(M, тоест (a+b)c=ac+bc, тогава (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc + a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. И така, c((M и M=N.
3. Умножението на естествени числа е комутативно, тоест ((a,b(N) ab=ba.
Доказателство. Нека първо докажем за всяко b(N равенството 0(b=b(0=0). Равенството b(0=0 следва от условие 1y. Нека M=(b (b(N (0(b=0). Тъй като 0( 0=0, тогава 0(M. Ако b(M, тоест 0(b=0, тогава 0(b(=0(b+0=0) и следователно b((M. Така че M =N, тоест равенството 0(b=b(0) е доказано за всички b(N. Нека допълнително S=(a (a(N (ab=ba)). Тъй като 0(b=b(0, тогава 0(S. Нека a (S, т.е. ab=ba. Тогава a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, т.е. a((S. Това означава S =N, което трябваше да се докаже.
4. Умножението е разпределително спрямо събирането. Това свойство следва от свойства 3 и 4.
5. Умножението е асоциативно, тоест ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
Доказателството се извършва, както при събирането, чрез индукция по c.
6. Ако a(b=0, тогава a=0 или b=0, тоест N няма делители на нулата.
Доказателство. Нека b(0 и b=c(. Ако ab=0, тогава ac(=ac+a=0, което означава, по силата на свойство 6 на клауза 3, че a=0.
Задача 1.4.1. Нека 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)). Докажете, че 2(4=8, 3(3=9.
Нека n, a1, a2,...,an са естествени числа. Сумата от числата a1, a2,...,an е число, което се означава с и се определя от условията; за всяко естествено число k
Произведението на числата a1, a2,...,an е естествено число, което се означава с и се определя от условията: ; за всяко естествено число k
Ако, тогава числото се означава с an.
Задача 1.4.2. Докажи това
А) ;
б) ;
V) ;
G) ;
д) ;
д) ;
и) ;
з) ;
И) .

1.5. ПОДРЕДЕНОСТ НА ЕСТЕСТВЕНАТА БРОЙНА СИСТЕМА.

Отношението „следва“ е антирефлексивно и антисиметрично, но не транзитивно и следователно не е отношение на ред. Ще дефинираме релация на ред, базирана на събиране на естествени числа.
Определение 1. а
Определение 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Нека се уверим, че връзката Да отбележим някои свойства на естествените числа, свързани с отношенията на равенство и неравенство.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3а
1.4а
1.5 a+c=b+c (a=b.
1.6 ac=bc (c(0 (a=b.
1.7 a+c
1.8 ac
1.9а
1.10а
Доказателство. Свойства 1.1 и 1.2 следват от уникалността на операциите събиране и умножение. Ако
2. ((a(N)a
Доказателство. Тъй като a(=a+1, тогава a
3. Най-малкият елемент в N е 0, а най-малкият елемент в N\(0) е числото 1.
Доказателство. Тъй като ((a(N) a=0+a, тогава 0(a, и следователно 0 е най-малкият елемент в N. Освен това, ако x(N\(0), тогава x=y(, y(N , или x=y+1. От това следва, че ((x(N\(0)) 1(x, т.е. 1 е най-малкият елемент в N\(0).
4. Отношение ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Доказателство. Очевидно за всяко естествено число a съществува естествено число n, такова че
a Такова число е, например, n=a(. Освен това, ако b(N\(0), тогава по свойство 3
1(b(2)
От (1) и (2), въз основа на свойства 1.10 и 1.4, получаваме aa.

1.6. ПЪЛЕН РЕД НА СИСТЕМАТА ОТ ЕСТЕСТВЕНИТЕ ЧИСЛА.

Определение 1. Ако всяко непразно подмножество на подредено множество (M; Нека се уверим, че общият ред е линеен. Нека a и b са всеки два елемента от напълно подредено множество (M; Лема . 1) а
Доказателство.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0) (a)
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0) (a)
Теорема 1. Естественият ред на множеството от естествени числа е общият ред.
Доказателство. Нека M е всяко непразно множество от естествени числа и S е множеството на неговите долни граници в N, тоест S=(x (x(N (((m(M) x(m)). От свойство 3 от клауза 5 следва, че 0(S. Ако второто условие на аксиома 4 n(S (n((S)) също беше изпълнено, тогава ще имаме S=N. Всъщност S(N; а именно, ако a( M, тогава a((S поради неравенството a
Теорема 2. Всяко непразно множество от естествени числа, ограничено отгоре, има най-голям елемент.
Доказателство. Нека M е всяко непразно множество от естествени числа, ограничено отгоре, и S множеството от неговите горни граници, т.е. S=(x(x(N (((m(M) m(x). Нека x0 означава най-малкият елемент в S. Тогава неравенството m(x0) е в сила за всички числа m от M, а строгото неравенство m
Задача 1.6.1. Докажи това
А) ;
б) ;
V) .
Задача 1.6.2. Нека ( е някакво свойство на естествените числа и k е произволно естествено число. Докажете това
а) всяко естествено число има свойството (, щом 0 има това свойство за всяко n (0
б) всяко естествено число, по-голямо или равно на k, има свойството (, щом k има това свойство и за всяко n (k(n) от предположението, че n има свойството (, следва, че числото n+1 също има това свойство;
в) всяко естествено число, по-голямо или равно на k, има свойството (, веднага щом k има това свойство и за всяко n (n>k) при допускането, че всички числа t, определени от условието k(t

1.7. ПРИНЦИП НА ИНДУКЦИЯТА.

Използвайки пълното подреждане на системата от естествени числа, може да се докаже следната теорема, на която се основава един от методите за доказателство, наречен метод на математическата индукция.
Теорема (принцип на индукцията). Всички твърдения от редицата A1, A2, ..., An, ... са верни, ако са изпълнени следните условия:
1) твърдение A1 е вярно;
2) ако твърденията Ak са верни за k
Доказателство. Нека приемем обратното: условия 1) и 2) са изпълнени, но теоремата не е вярна, т.е. множеството M=(m(m(N\(0), Am е невярно)) не е празно). към теорема 1 от клауза 6 има най-малък елемент, който обозначаваме с n. Тъй като според условие 1) A1 е вярно и An е невярно, тогава 1(n, и следователно 1
При доказване по индукция могат да се разграничат два етапа. На първия етап, който се нарича индукционна база, се проверява изпълнимостта на условие 1). На втория етап, наречен етап на индукция, се доказва изпълнимостта на условие 2). В този случай най-често има случаи, когато за доказване на истинността на твърденията An няма нужда да се използва истинността на твърденията Ak за k
Пример. Докажете неравенството Put =Sk. Изисква се да се докаже истинността на твърденията Ak=(Sk. Последователността от твърдения, посочена в теорема 1, може да бъде получена от предиката A(n), дефиниран върху множеството N или върху неговото подмножество Nk=(x (x(N) , x(k), където k е всяко фиксирано естествено число.
По-специално, ако k=1, тогава N1=N\(0) и номерирането на твърденията може да се извърши с помощта на равенствата A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A (n), ... Ако k(1, тогава последователността от твърдения може да бъде получена с помощта на равенствата A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n -1), .. В съответствие с тази нотация, теорема 1 може да бъде формулирана в друга форма.
Теорема 2. Предикатът A(m) е идентично верен на множеството Nk, ако са изпълнени следните условия:
1) твърдението A(k) е вярно;
2) ако твърденията A(m) са верни за m
Задача 1.7.1. Докажете, че следните уравнения нямат решения в областта на естествените числа:
а) x+y=1;
б) 3х=2;
в) х2=2;
г) 3х+2=4;
д) x2+y2=6;
е) 2x+1=2y.
Задача 1.7.2. Докажете, като използвате принципа на математическата индукция:
а) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
б) ;
V) ;
G) ;
д) ;
д) .

1.8. ИЗВАДАНЕ И ДЕЛЕНИЕ НА ЕСТЕСТВЕНИТЕ ЧИСЛА.

Определение 1. Разликата на естествените числа a и b е естествено число x такова, че b+x=a. Разликата между естествените числа a и b се означава с a-b, а операцията за намиране на разликата се нарича изваждане. Изваждането не е алгебрична операция. Това следва от следната теорема.
Теорема 1. Разликата a-b съществува тогава и само ако b(a. Ако разликата съществува, значи има само една.
Доказателство. Ако b(a, тогава по дефиниция на отношението (има естествено число x, такова че b+x=a. Но това също означава, че x=a-b. Обратно, ако разликата a-b съществува, тогава по дефиниция 1 има a естествено число x, че b+x=a. Но това също означава, че b(a.
Нека докажем уникалността на разликата a-b. Нека a-b=x и a-b=y. Тогава съгласно Дефиниция 1 b+x=a, b+y=a. Следователно b+x=b+y и, следователно, x=y.
Определение 2.Частното на две естествени числа a и b(0) е естествено число c, такова че a=bc.Операцията за намиране на частно се нарича деление.Въпросът за съществуването на частно се решава в теорията на делимост.
Теорема 2. Ако частно съществува, значи има само едно.
Доказателство. Нека =x и =y. Тогава според дефиниция 2 a=bx и a=by. Следователно bx=by и следователно x=y.
Имайте предвид, че операциите изваждане и деление са дефинирани почти дословно по същия начин, както в училищните учебници. Това означава, че в параграфи 1-7, въз основа на аксиомите на Пеано, е положена солидна теоретична основа за аритметиката на естествените числа и нейното по-нататъшно представяне се извършва последователно в училищния курс по математика и в университетския курс „Алгебра и теория на числата“ .
Задача 1.8.1. Докажете валидността на следните твърдения, като приемете, че съществуват всички разлики, появяващи се в техните формулировки:
а) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c;
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
n) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Задача 1.8.2. Докажете валидността на следните твърдения, като приемете, че всички коефициенти, фигуриращи в техните формулировки, съществуват.
А) ; б) ; V) ; G) ; д) ; д) ; и) ; з) ; И) ; Да се) ; л) ; м) ; н) ; О) ; P) ; R) .
Задача 1.8.3. Докажете, че следните уравнения не могат да имат две различни естествени решения: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b (a,b(N).
Задача 1.8.4. Решете следните уравнения с естествени числа:
а) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x+y=x(y; c) ; г) x2+2y2=12; д) x2-y2=3; д) x+y+z=x(y(z.
Задача 1.8.5. Докажете, че следните уравнения нямат решения в полето на естествените числа: а) x2-y2=14; b) x-y=xy; V) ; G) ; д) x2=2x+1; е) x2=2y2.
Задача 1.8.6. Решете следните естествени неравенства: а) ; б) ; V) ; г) x+y2 Задача 1.8.7. Докажете, че в полето на естествените числа са валидни следните съотношения: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9 КОЛИЧЕСТВЕНО ЗНАЧЕНИЕ ЕСТЕСТВЕНИ ЧИСЛА.
На практика естествените числа се използват главно за броене на елементи и за това е необходимо да се установи количественото значение на естествените числа в теорията на Пеано.
Определение 1. Множеството (x (x(N, 1(x(n)) се нарича сегмент от естествената редица и се означава с (1;n(.
Определение 2. Крайно множество е всяко множество, което е равно на определен сегмент от естествения ред, както и празно множество. Множество, което не е крайно, се нарича безкрайно.
Теорема 1. Крайно множество A не е еквивалентно на никое от собствените си подмножества (т.е. подмножество, различно от A).
Доказателство. Ако A=(, тогава теоремата е вярна, тъй като празното множество няма подходящи подмножества. Нека A((и A са еднакво мощни (1,n((A((1,n()). Ще докажем теоремата чрез индукция по n. Ако n= 1, т.е. A((1,1(, тогава единственото правилно подмножество на множеството A е празното множество. Ясно е, че A(и следователно за n=1 теоремата е вярна. Да предположим, че теоремата е вярна за n=m, т.е. всички крайни множества, еквивалентни на сегмента (1,m(), нямат еквивалентни правилни подмножества. Нека A е всяко множество, равно на сегмента (1,m +1(и (:(1,m+1(®A - някаква биективна карта на сегмента (1,m+1(в A. Ако ((k) е означено с ak, k=1,2,..) .,m+1, тогава множеството A може да бъде записано като A=(a1, a2, ... , am, am+1). Нашата задача е да докажем, че A няма еквивалентни правилни подмножества. Да предположим обратното; нека B(A, B(A, B(A и f: A®B) е биективна карта. Можем да изберем биективни карти като тази (и f такива, че am+1(B и f(am+1)=am+ 1.
Да разгледаме множествата A1=A\(am+1) и B1=B\(am+1). Тъй като f(am+1)=am+1, функцията f ще извърши двустранно преобразуване на множеството A1 върху множеството B1. Така множеството A1 ще бъде равно на собственото си подмножество B1. Но тъй като A1((1,m(, това противоречи на предположението за индукция.
Следствие 1. Множеството от естествени числа е безкрайно.
Доказателство. От аксиомите на Пеано следва, че преобразуването S:N®N\(0), S(x)=x( е биективно. Това означава, че N е еквивалентно на собственото си подмножество N\(0) и по силата на теоремата 1, не е ограничен.
Следствие 2. Всяко непразно крайно множество A е еквивалентно на един и само един сегмент от естествения ред.
Доказателство. Нека A((1,m(и A((1,n(. Тогава (1,m(((1,n(), от което по Теорема 1 следва, че m=n. Наистина, ако приемем, че м
Следствие 2 ни позволява да въведем определение.
Определение 3. Ако A((1,n(, тогава естественото число n се нарича броят на елементите на множеството A и процесът на установяване на взаимно еднозначно съответствие между множествата A и (1,n( се нарича преброяване на елементите на множеството A. Естествено е броят на елементите на празното множество да се счита за нула.
Излишно е да говорим за огромното значение на броенето в практическия живот.
Имайте предвид, че знаейки количественото значение на естествено число, би било възможно да се дефинира операцията за умножение чрез събиране, а именно:
.
Умишлено не поехме по този път, за да покажем, че самата аритметика не се нуждае от количествен смисъл: количественият смисъл на естественото число е необходим само в приложенията на аритметиката.

1.10. СИСТЕМА ОТ ЕСТЕСТВЕНИТЕ ЧИСЛА КАТО ДИСКРЕТНО НАПЪЛНО ПОДРЕДЕНО МНОЖЕСТВО.

Показахме, че множеството от естествени числа е напълно подредено спрямо естествения ред. Освен това, ((a(N) a
1. за всяко число a(N има съседно число, което го следва в релация 2. за всяко число a(N\(0) има съседно число, което го предшества в релация A напълно подредено множество (A;() с свойства 1 и 2 ще се нарича дискретно напълно подредено множество. Оказва се, че пълното подреждане със свойства 1 и 2 е характерно свойство на системата от естествени числа. Наистина, нека A=(A;() е всяко напълно подредено множество с свойства 1 и 2. Нека дефинираме върху множеството A отношението "следва", както следва: a(=b, ако b е съседен елемент, следващ a в отношението (. Ясно е, че най-малкият елемент от множеството A прави не следва нито един елемент и следователно аксиома 1 на Пеано е изпълнена.
Тъй като връзката (е линеен ред, тогава за всеки елемент a има уникален елемент, следващ го и най-много един предходен съседен елемент. Това предполага валидността на аксиоми 2 и 3. Сега нека M е всяко подмножество на множеството A за които са изпълнени следните условия:
1) a0(M, където a0 е най-малкият елемент в A;
2) a(M (a((M.
Нека докажем, че M=N. Нека приемем обратното, т.е. A\M((. Нека означим с b най-малкия елемент в A\M. Тъй като a0(M, тогава b(a0 и следователно има елемент c такъв, че c( =b. Тъй като c
И така, ние доказахме възможността за друга дефиниция на системата от естествени числа.
Определение. Система от естествени числа е всяко добре подредено множество, за което са изпълнени следните условия:
1. за всеки елемент има съседен елемент след него;
2. за всеки елемент, различен от най-малкия, има съседен елемент, който го предхожда.
Има и други подходи за определяне на системата от естествени числа, на които не се спираме тук.

2. ЦЕЛИ И РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА.

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НА СИСТЕМАТА ОТ ЦЕЛИ ЧИСЛА.
Известно е, че наборът от цели числа в тяхното интуитивно разбиране е пръстен по отношение на събирането и умножението и този пръстен съдържа всички естествени числа. Също така е ясно, че няма правилен подпръстен в пръстена от цели числа, който да съдържа всички естествени числа. Оказва се, че тези свойства могат да се използват като основа за строга дефиниция на системата от цели числа. В параграфи 2.2 и 2.3 ще бъде доказана коректността на това определение.
Дефиниции 1. Система от цели числа е алгебрична система, за която са изпълнени следните условия:
1. Алгебричната система е пръстен;
2. Множеството от естествени числа се съдържа в, а събирането и умножението в пръстен на подмножество съвпадат със събирането и умножението на естествените числа, т.е.
3. (условие за минималност). Z е минимално за включване множество със свойства 1 и 2. С други думи, ако подпръстен на пръстен съдържа всички естествени числа, тогава Z0=Z.
Определение 1 може да получи разширен аксиоматичен характер. Първоначалните концепции в тази аксиоматична теория ще бъдат:
1) Множеството Z, чиито елементи се наричат ​​цели числа.
2) Специално цяло число, наречено нула и обозначено с 0.
3) Троични отношения + и (.
Както обикновено, N означава набор от естествени числа със събиране (и умножение (). В съответствие с Дефиниция 1, система от цели числа е алгебрична система (Z; +, (, N), за която са валидни следните аксиоми:
1. (Аксиоми на пръстена.)
1.1.
Тази аксиома означава, че + е двоична алгебрична операция върху множеството Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z) a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, тоест числото 0 е неутрален елемент по отношение на събирането.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, тоест за всяко цяло число има противоположно число a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Тази аксиома означава, че умножението е двоична алгебрична операция върху множеството Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b.)
2. (Аксиоми, свързващи пръстена Z със системата от естествени числа.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N) a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (Аксиома за минималност.)
Ако Z0 е подпръстен на пръстена Z и N(Z0, тогава Z0=Z.
Нека отбележим някои свойства на целочислената система.
1. Всяко цяло число може да се представи като разлика на две естествени числа. Това представяне е двусмислено, с z=a-b и z=c-d, където a,b,c,d(N, ако и само ако a+d=b+c.
Доказателство. Нека означим с Z0 множеството от всички цели числа, всяко от които може да бъде представено като разлика на две естествени числа. Очевидно ((a(N) a=a-0, и следователно N(Z0.
След това нека x,y(Z0, т.е. x=a-b, y=c-d, където a,b,c,d(N. Тогава x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)-( b +c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)- ( a(d(b(c). Оттук е ясно, че x-y, x(y(Z0 и, следователно, Z0 е подпръстен на пръстена Z, съдържащ множеството N. Но тогава, съгласно аксиома 3, Z0=Z и по този начин първата част от свойство 1 е доказана. Второто твърдение на това свойство е очевидно.
2. Пръстенът от цели числа е комутативен пръстен с единица, като нулата на този пръстен е естественото число 0, а единицата на този пръстен е естественото число 1.
Доказателство. Нека x,y(Z. Съгласно свойство 1 x=a-b, y=c-d, където a,b,c,d(N. Тогава x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c), y(x=(c-d)(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c ( a(d(b)-(d(a(c(b)). Следователно, поради комутативността на умножението на естествени числа, заключаваме, че xy=yx. Комутативността на умножението в пръстена Z е доказана. останалите твърдения на свойство 2 следват от следните очевидни равенства, в които 0 и 1 означават естествените числа нула и едно: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0) +(-b)=(a(0)+ (-b)=a-b=x. x(1=(a-b)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=a-b=x) .

2.2. СЪЩЕСТВУВАНЕ НА СИСТЕМА ОТ ЦЕЛИ ЧИСЛА.

Системата с цели числа е дефинирана в 2.1 като пръстен с минимално включване, съдържащ всички естествени числа. Възниква въпросът: съществува ли такъв пръстен? С други думи, последователна ли е системата от аксиоми от 2.1? За да се докаже последователността на тази система от аксиоми, е необходимо да се изгради нейната интерпретация в очевидно последователна теория. Такава теория може да се счита за аритметика на естествените числа.
И така, нека започнем да конструираме интерпретация на системата от аксиоми 2.1. Комплектът ще считаме за начален. Върху това множество дефинираме две двоични операции и двоична релация. Тъй като събирането и умножението на двойки се свежда до събиране и умножение на естествени числа, тогава, както при естествените числа, събирането и умножението на двойки са комутативни, асоциативни, а умножението е разпределително спрямо събирането. Нека проверим например комутативността на събирането на двойки: +===+.
Нека разгледаме свойствата на релацията ~. Тъй като a+b=b+a, то ~, тоест връзката ~ е рефлексивна. Ако ~, тоест a+b1=b+a1, тогава a1+b=b1+a, тоест ~. Това означава, че връзката е симетрична. Нека по-нататък ~ и ~. Тогава равенствата a+b1=b+a1 и a1+b2=b1+a2 са верни. Събирайки тези равенства, получаваме a+b2=b+a2, което е ~. Това означава, че отношението ~ също е транзитивно и следователно е еквивалентно. Класът на еквивалентност, съдържащ двойка, ще бъде означен с. По този начин, клас на еквивалентност може да бъде обозначен с всяка от неговите двойки и в същото време
(1)
Означаваме множеството от всички класове на еквивалентност с. Нашата задача е да покажем, че това множество, с подходящата дефиниция на операциите събиране и умножение, ще бъде интерпретация на системата от аксиоми от 2.1. Ние дефинираме операции върху множество чрез равенствата:
(2)
(3)
Ако и, тоест на множеството N равенствата a+b(=b+a(, c+d(=a+c() са верни, тогава равенството (a+c)+(b(+d( )=(b +d)+(a(+c()), от което, по силата на (1), получаваме това. Това означава, че равенството (2) дефинира уникална операция на добавяне върху множество, независимо от избор на двойки, обозначаващи добавяните класове.По подобен начин се проверява и уникалността на умножението на класове.Така равенства (2) и (3) дефинират двоични алгебрични операции върху множеството.
Тъй като събирането и умножението на класове се свежда до събиране и умножение на двойки, тези операции са комутативни, асоциативни, а умножението на класове е разпределително по отношение на събирането. От равенствата заключаваме, че класът е неутрален елемент по отношение на събирането и за всеки клас има противоположен на него клас. Това означава, че множеството е пръстен, тоест аксиомите от група 1 от 2.1 са изпълнени.
Помислете за подмножество на пръстен. Ако a(b, тогава чрез (1) и ако a
Върху множеството дефинираме двоичното отношение (следва (; а именно, клас е последван от клас, където x(е естествено число, следващо x. Класът, следващ естествено, се означава с (. Ясно е, че класът не следва всеки клас и всеки клас има клас след него и освен това само един. Последното означава, че отношението (следва (е унарна алгебрична операция върху множеството N.
Нека разгледаме картографирането. Очевидно това преобразуване е биективно и условията f(0)= , f(x()==(=f(x)(). Това означава, че преобразуването f е изоморфизъм на алгебрата (N;0,() върху алгебрата (;, (). С други думи, алгебрата (;,() е интерпретация на аксиомната система на Пеано. Чрез идентифициране на тези изоморфни алгебри, тоест чрез допускане, че самото множество N е подмножество на Същата идентификация в очевидни равенства води до равенствата a(c =a+c, a(c=ac), което означава, че събирането и умножението в пръстен на подмножество N съвпадат със събирането и умножението на естествени числа. Така, е установена изпълнимостта на аксиомите от група 2. Остава да проверим изпълнимостта на аксиомата за минималност.
Нека Z0 е всеки подпръстен на пръстена, съдържащ множеството N и. Забележете, че и следователно, . Но тъй като Z0 е пръстен, разликата на тези класове също принадлежи на пръстена Z0. От равенствата -= (= заключаваме, че (Z0 и следователно Z0=. Съгласуваността на системата от аксиоми в клауза 2.1 е доказана.

2.3. УНИКАЛНОСТ НА СИСТЕМАТА ОТ ЦЕЛИ ЧИСЛА.

Има само една система от цели числа, както се разбират интуитивно. Това означава, че системата от аксиоми, дефинираща целите числа, трябва да бъде категорична, т.е. всеки две интерпретации на тази система от аксиоми трябва да бъдат изоморфни. Категоричен означава, че с точност до изоморфизма има само една система от цели числа. Нека се уверим, че това наистина е така.
Нека (Z1;+,(,N) и (Z2;(,(,N)) са произволни две интерпретации на системата от аксиоми в клауза 2.1. Достатъчно е да се докаже съществуването на такова биективно преобразуване f:Z1®Z2 за които естествените числа остават фиксирани и с изключение на Освен това за всякакви елементи x и y от пръстена Z1 са валидни следните равенства:
(1)
. (2)
Обърнете внимание, че тъй като N(Z1 и N(Z2), тогава
, a(b=a(b. (3)
Нека x(Z1 и x=a-b, където a,b(N. Нека асоциираме с този елемент x=a-b елемента u=a(b, където (изваждане в пръстена Z2. Ако a-b=c-d, тогава a+d =b+c, ​​откъдето, по силата на (3), a(d=b(c и, следователно, a(b=c(d). Това означава, че нашето съответствие не зависи от представителя на елемента x в форма на разликата на две естествени числа и по този начин се определя преобразуването f: Z1®Z2, f(a-b)=a(b. Ясно е, че ако v(Z2 и v=c(d, то v=f(c-d) Това означава, че всеки елемент от Z2 е образ под отображението f и следователно отображението f е сюръективно.
Ако x=a-b, y=c-d, където a,b,c,d(N и f(x)=f(y), тогава a(b=c(d. Но тогава a(d=b(d, в сила (3) a+d=b+c, ​​​​т.е. a-b=c-d Доказахме, че равенството f(x)=f(y) предполага равенството x=y, тоест картографирането f е инжективно .
Ако a(N, тогава a=a-0 и f(a)=f(a-0)=a(0=a. Това означава, че естествените числа са фиксирани при преобразуването f. Освен това, ако x=a-b, y=c-d, където a,b,c,d(N, тогава x+y=(a+c)- и f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c )((b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). Валидността на равенството (1) е доказана. Нека проверим равенството (2). Тъй като f( xy)=(ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)(a(d(b(c)), и от друга страна f(x)(f(y)=( a(b)((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c). Това означава f(xy)=f(x)(f(y), което завършва доказателството за категоричността на системата от аксиоми т. 2.1.

2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НА СИСТЕМАТА ОТ РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА.

Множеството Q от рационални числа в тяхното интуитивно разбиране е поле, за което множеството Z от цели числа е подпръстен. Очевидно е, че ако Q0 е подполе на полето Q, съдържащо всички цели числа, тогава Q0=Q. Ще използваме тези свойства като основа за строга дефиниция на системата от рационални числа.
Определение 1. Система от рационални числа е алгебрична система (Q;+,(;Z), за която са изпълнени следните условия:
1. алгебрична система (Q;+,() е поле;
2. пръстенът Z от цели числа е подпръстен на полето Q;
3. (условие за минималност) ако подполе Q0 на поле Q съдържа подпръстен Z, тогава Q0=Q.
Накратко, системата от рационални числа е поле за минимално включване, съдържащо подпръстен от цели числа. Възможно е да се даде по-подробна аксиоматична дефиниция на системата от рационални числа.
Теорема. Всяко рационално число x може да бъде представено като частно от две цели числа, т.е
, където a,b(Z, b(0. (1)
Това представяне е двусмислено и където a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Доказателство. Нека означим с Q0 множеството от всички рационални числа, представими във формата (1). Достатъчно е да се уверим, че Q0=Q. Нека, където a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Тогава от свойствата на полето имаме: , и за c(0. Това означава, че Q0 е затворено при изваждане и деление с числа, не равно на нула и следователно е подполе на полето Q. Тъй като всяко цяло число a е представимо във формата, тогава Z(Q0. От тук, поради условието за минималност, следва, че Q0=Q. Доказателството на втората част от теоремата е очевидна.

2.5. СЪЩЕСТВУВАНЕ НА СИСТЕМА ОТ РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА.

Системата от рационални числа се определя като минимално поле, съдържащо подпръстен от цели числа. Естествено възниква въпросът: съществува ли такова поле, тоест последователна ли е системата от аксиоми, които определят рационалните числа? За да се докаже последователност, е необходимо да се изгради интерпретация на тази система от аксиоми. В този случай може да се разчита на съществуването на система от цели числа. Когато конструираме интерпретация, ще считаме множеството Z(Z\(0) за начална точка. В това множество дефинираме две двоични алгебрични операции
, (1)
(2)
и двоична връзка
(3)
Целесъобразността на именно това определение на операциите и отношенията следва от факта, че в интерпретацията, която изграждаме, двойката ще изразява особеното.
Лесно се проверява, че операциите (1) и (2) са комутативни, асоциативни и умножението е разпределително по отношение на събирането. Всички тези свойства се тестват спрямо съответните свойства на събиране и умножение на цели числа. Нека проверим например асоциативността на умножаващи се двойки: .
По подобен начин се проверява, че връзката ~ е еквивалентност и следователно множеството Z(Z\(0) е разделено на класове на еквивалентност. Означаваме множеството от всички класове с и класа, съдържащ двойка с. Така , клас може да бъде обозначен с всяка от неговите двойки и По силата на условие (3), получаваме:
. (4)
Нашата задача е да дефинираме операцията събиране и умножение върху множество, така че то да е поле. Ние дефинираме тези операции чрез равенства:
, (5)
(6)
Ако, тоест, ab1=ba1 и, тоест, cd1=dc1, тогава умножавайки тези равенства, получаваме (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), което означава, че Това ни убеждава, че равенството (6) наистина дефинира уникална операция върху набор от класове, независимо от избора на представители във всеки клас. По същия начин се проверява уникалността на операция (5).
Тъй като събирането и умножението на класове се свежда до събиране и умножение на двойки, операциите (5) и (6) са комутативни, асоциативни, а умножението е разпределително спрямо събирането.
От равенствата заключаваме, че класът е неутрален елемент по отношение на събирането и за всеки клас има противоположен на него елемент. По същия начин от равенствата следва, че класът е неутрален елемент по отношение на умножението и за всеки клас има обратен клас. Това означава, че е поле по отношение на операции (5) и (6); първото условие в дефиницията на точка 2.4 е изпълнено.
Нека след това разгледаме комплекта. Очевидно, . Множеството е затворено спрямо изваждане и умножение и следователно е подпръстен на полето. Наистина ли, . Нека след това разгледаме картографирането, . Сюрективността на това картографиране е очевидна. Ако f(x)=f(y), т.е. тогава x(1=y(1 или x=y. Следователно преобразуването f също е инжективно. Освен това, . Следователно преобразуването f е изоморфизъм на пръстен в пръстен. Идентифицирайки това като изоморфни пръстени, можем да приемем, че пръстенът Z е подпръстен на полето, т.е. условие 2 в дефиницията на клауза 2.4 е изпълнено. Остава да докажем минималността на полето. Нека е всяко подполе на полето и, и нека. Тъй като, а, тогава. Но тъй като - поле, тогава частното от тези елементи също принадлежи на полето. По този начин се доказва, че ако , тогава, това е. Съществуването на система на рационални числа е доказано.

2.6. УНИКАЛНОСТ НА СИСТЕМАТА ОТ РАЦИОНАЛНИ ЧИСЛА.

Тъй като има само една система от рационални числа в тяхното интуитивно разбиране, аксиоматичната теория на рационалните числа, която е представена тук, трябва да бъде категорична. Категоричен означава, че с точност до изоморфизъм има само една система от рационални числа. Нека покажем, че това наистина е така.
Нека (Q1;+, (; Z) и (Q2; (, (; Z)) са произволни две системи от рационални числа. Достатъчно е да се докаже съществуването на биективно картографиране, при което всички цели числа остават фиксирани и в допълнение , условията са изпълнени
(1)
(2)
за всякакви елементи x и y от полето Q1.
Отношението на елементите a и b в полето Q1 ще означим с, а в полето Q2 с a:b. Тъй като Z е подпръстен на всяко от полетата Q1 и Q2, тогава за всякакви цели числа a и b равенствата са верни
, . (3)
Нека и, където, . Нека свържем с този елемент x елемента y=a:b от полето Q2. Ако равенството е вярно в полето Q1, където, то по теорема 2.4 в пръстена Z е изпълнено равенството ab1=ba1, или по силата на (3) е изпълнено равенството, а след това по същата теорема равенството a:b= a1:b1 се съдържа в полето Q2. Това означава, че като асоциираме елемента y=a:b от полето Q2 с елемент от полето Q1, ние дефинираме преобразуване, .
Всеки елемент от поле Q2 може да бъде представен като a:b, където и, следователно, е изображението на елемент от поле Q1. Това означава, че отображението f е сюръективно.
Ако, тогава в поле Q1 и след това. По този начин, преобразуването f е биективно и всички цели числа остават фиксирани. Остава да докажем валидността на равенствата (1) и (2). Нека и, където a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Тогава и, откъдето, по силата на (3) f(x+y)=f(x)(f(y). По същия начин и къде.
Изоморфизмът на интерпретациите (Q1;+, (; Z) и (Q2; (, (; Z)) е доказан.

ОТГОВОРИ, ИНСТРУКЦИИ, РЕШЕНИЯ.

1.1.1. Решение. Нека условието на аксиома 4 е вярно (свойство на естествените числа, такова че ((0) и. Нека. Тогава M удовлетворява предпоставката на аксиома 4, тъй като ((0)(0(M и. Следователно, M=N, т.е. всяко естествено число има свойството (. Обратно. Нека приемем, че за всяко свойство (от факта, че ((0) и, следва. Нека M е подмножество на N, така че 0(M и. Нека покажем, че M = N. Нека въведем свойството (, като приемем. Тогава ((0), тъй като и. Следователно, следователно, M=N.
1.1.2. Отговор: Твърденията на 1-ва и 4-та аксиома на Пеано са верни. Твърдението на 2-ра аксиома е невярно.
1.1.3. Отговор: твърдения 2,3,4 от аксиомите на Пеано са верни. Твърдението на 1-вата аксиома е невярно.
1.1.4. Твърдения 1, 2, 3 от аксиомите на Пеано са верни. Твърдението на 4-та аксиома е невярно. Посока: докажете, че множеството удовлетворява предпоставката на аксиома 4, формулирана по отношение на операцията но.
1.1.5. Съвет: за да докажете истинността на твърдението на аксиома 4, разгледайте подмножество M от A, което отговаря на условията: a) 1((M, b) и множеството. Докажете това. Тогава M=A.
1.1.6. Твърденията на 1-ва, 2-ра и 3-та аксиома на Пеано са верни. Твърдението на 4-тата аксиома на Пеано е невярно.
1.6.1. а) Решение: Първо докажете, че ако 1ч. Обратно. Нека съм
1.6.2. а) Решение: Да приемем обратното. Нека с M обозначим множеството от всички числа, които нямат свойството (. По предположение, M((. По теорема 1, M има най-малкия елемент n(0. Всяко число x
1.8.1. f) Използвайте елементи e) и елементи c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, следователно (a-b)-(c-b)=a-c.
з) Използвайте имота.
k) Използвайте елемент b).
л) Използвайте точки b) и точки h).
1.8.2. c) Следователно имаме . Така, .
г) Имаме. Следователно, .
и) .
1.8.3. a) Ако (и (са различни решения на уравнението ax2+bx=c, тогава a(2+b(=a(2+b(). От друга страна, ако, например, (b) Нека (и ( са различни решения на уравнението. Ако ((. Въпреки това (2=a(+b>a(, следователно, (>a). Имаме противоречие.
c) Нека (и ( са различни корени на уравнението и (>(. Тогава 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-())(( (+( ) Така че a((+()=2, но (+(>2, следователно a((+()>2, което е невъзможно.
1.8.4. а) х=3; б) x=y=2. Съвет: тъй като и, имаме x=y; в) x=y(y+2), y - произволно естествено число; г) x=y=2; д) x=2, y=1; е) До пермутации x=1, y=2, z=3. Решение: Нека например x(y(z. Тогава xyz=x+y+z(3z, т.е. xy(3). Ако xy=1, тогава x=y=1 и z=2+z, което е невъзможно. Ако xy=2, тогава x=1, y=2. В този случай 2z=3+z, т.е.z=3. Ако xy=3, тогава x=1, y=3. Тогава 3z= 4+z, т.е. z=2, което противоречи на предположението y(z.
1.8.5. б) Ако x=a, y=b е решение на уравнението, тогава ab+b=a, т.е. a>ab, което е невъзможно. г) Ако x=a, y=b е решение на уравнението, тогава b
1.8.6. a) x=ky, където k,y са произволни естествени числа и y(1. b) x е произволно естествено число, y=1. в) x е произволно естествено число, y=1. г) Няма решение. д) x1=1; х2=2; х3=3. д) х>5.
1.8.7. а) Ако a=b, тогава 2ab=a2+b2. Нека, например, a

ЛИТЕРАТУРА

1. Редков M.I. Бройни системи. /Методически препоръки за изучаване на дисциплината „Бройни системи”. Част 1.- Омск: Омски държавен педагогически институт, 1984.- 46 с.
2. Ершова T.I. Бройни системи. /Методическа разработка за практически занятия - Свердловск: СГПИ, 1981. - 68 с.